Trong toán học có rất nhiều phương pháp để chứng minh một vấn đề như chứng minh trực tiếp, chứng minh phản chứng, chứng minh đối ngẫu, chứng minh quy nạp. Hãy cùng trường THPT Sài Gòn tìm hiểu về lịch sử hình thành và phát triển của phương pháp chứng minh quy nạp nhé:
Quy nạp (induction) là một phương pháp chứng minh trong toán học, trong đó bạn chứng minh một đẳng thức, một bất đẳng thức, hoặc một tính chất cho tất cả các số nguyên dương (thường là từ 1 trở đi) bằng cách chứng minh nó đúng cho một giá trị cụ thể nào đó, và sau đó chứng minh rằng nếu nó đúng cho một giá trị nào đó, thì nó cũng đúng cho giá trị tiếp theo.
Cụ thể, quy nạp thường có hai bước chính:
Bước cơ sở (Base Case): Chứng minh rằng đẳng thức hoặc bất đẳng thức đúng cho một giá trị cụ thể, thường là giá trị nhỏ nhất của biến (thường là 1).
Bước quy nạp (Inductive Step): Chứng minh rằng nếu đẳng thức hoặc bất đẳng thức đúng cho một giá trị nào đó (nói chung là một số nguyên dương k), thì nó cũng đúng cho giá trị k+1.
Nếu cả hai bước trên đều đúng, ta có thể kết luận rằng đẳng thức hoặc bất đẳng thức đó đúng cho tất cả các giá trị nguyên dương.
Hình 1. Quy nạp toán học có thể được minh họa mô phỏng bằng cách tham chiếu đến các tác dụng tuần tự của hiệu ứng domino
Phương pháp chứng minh quy nạp đã có một lịch sử dài và đa dạng trong toán học, với đóng góp từ nhiều nhà toán học nổi tiếng.
Dưới đây là một số điểm đáng chú ý trong lịch sử hình thành và phát triển của phương pháp này:
Euclid (Khoảng 300 trước CN):
Euclid, một nhà toán học Hy Lạp cổ đại, sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp trong “Elements”. Ví dụ nổi tiếng của Euclid là chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, một chứng minh sử dụng phương pháp chứng minh từ phản đảo (chứng minh từ giả định phủ định).
Hình 2. Tác phẩm “Cơ sở” (The elements) của Euclid
Blaise Pascal (1623-1662):
Pascal, một nhà toán học và nhà vật lý người Pháp, đóng góp vào phương pháp chứng minh quy nạp thông qua các nghiên cứu về xác suất và các bài toán về tam giác Pascal.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827):
Laplace, một nhà toán học và nhà vật lý người Pháp, sử dụng phương pháp quy nạp trong nghiên cứu về xác suất và thống kê.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855):
Gauss, một nhà toán học Đức, đã sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh một số tính chất của các dãy số, bao gồm cả công thức tổng của dãy số tự nhiên.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857):
Cauchy, một nhà toán học người Pháp, đã giới thiệu một khái niệm gọi là “chứng minh bằng quy nạp” và áp dụng nó vào nhiều bài toán khác nhau, đặc biệt là trong lĩnh vực tích phân và chuỗi.
Évariste Galois (1811-1832):
Galois, một nhà toán học người Pháp, đã sử dụng phương pháp quy nạp trong nghiên cứu về đại số, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số modular.
Paul Erdős (1913-1996) và Combinatorics:
Erdős, một nhà toán học người Hungary, đã làm việc rất nhiều trong lĩnh vực tổ hợp và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh nhiều kết quả trong lĩnh vực này.
Donald Knuth (1938-):
Knuth, một nhà toán học và nhà phát triển máy tính người Mỹ, đã đóng góp vào lĩnh vực phương pháp chứng minh quy nạp thông qua công việc của ông về “The Art of Computer Programming”.
Phương pháp chứng minh quy nạp không chỉ được sử dụng trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như lý thuyết đồ thị, kỹ thuật máy tính, xác suất, và tổ hợp. Đối với nhiều nhà toán học và nhà nghiên cứu, quy nạp là một công cụ mạnh mẽ và linh hoạt cho việc chứng minh tính chất và mối quan hệ trong nhiều bối cảnh toán học.
Các học sinh lớp 12 cần chú ý học ôn về Phương pháp chứng minh quy nạp vì đây là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT.
